Řešené projekty

Modelování finančního rizika dle Lévyho modelů a pojetí volatility

SP2012/2

Projekt je zaměřen na posouzení možností finančního modelování pomocí Lévyho modelů v závislosti na různém pojetí parametru volatility, tedy míry rizika/nejistoty. Projekt tím navazuje na projekty řešené v roce 2010 (Odhad finančního rizika na bázi Lévyho modelů) a 2011 (Ověření odhadů finančního rizika s využitím Lévyho modelů). Zatímco první projekt byl zaměřen na samotný odhad finančního rizika, následně byla pozornost upřena především na podrobnější posouzení, jak účinné jsou vybrané modely při odhadnu příslušných skupin finančních rizik, a to jak u finančních (banky, pojišťovny), tak nefinančních společností. Nyní dojde k bližšímu zaměření pozornosti na specifikaci parametru volatility. Klíčovým prvkem finančního modelování je odpovídající kvantifikace finančního rizika, neboť to se projevuje jak při ocenění finančních instrumentů, jejich následném zajištění (tj. hedgingu), i určování hodnoty firmy jako celku. Finančním rizikem chápeme zpravidla neočekávanou změnu ceny finančního aktiva, výše finančních toků či obdobné veličiny, tedy odchylku od očekávané hodnoty. Dle zdroje rizika je možné rozlišit zejména (1) riziko tržní, které vyplývá např. ze změny tržních cen akcií, úrokových sazeb, měnových kurzů, (2) riziko úvěrové nebo též kreditní, které je provázáno na změnu úvěrové schopnosti emitentů dluhových cenných papírů, případně i způsob, kterým trh, tj. investoři obecně vnímají riziko (změna přirážky za jednotku úvěrového rizika), a (3) riziko operační, které lze při určité míře zjednodušení definovat jako riziko plynoucí ze selhání lidí a systémů. V případě pojišťovacích institucí je nutné brát v potaz i (4) riziko životní, které zprostředkovaně ovlivňuje riziko refinancování a reinvestování, tedy kolik prostředků bude nutné k danému datu získat/umístit na finančním trhu. Úroveň rizika lze měřit pomocí celé řady měr, přičemž nejjednodušší je směrodatná odchylka výnosů/cen. V případě kombinovaných pozic pak je nutné sledovat závislosti, viz [6] a [15]. Z globálního manažerského pohledu se pak uchytily míry rizika na bázi kvantilů a podmíněného rozdělení, jako je Value at Risk (VaR) nebo conditional Value at Risk (cVaR), případně Expected Shortfall. Tyto míry rizika lze samozčejmě opět provázat na reward measures. Přitom základní předností je relativně snadná srozumitelnost a agregace za různé pozice. Při volbě vhodných modelů pro odhad rizika je nutné brát v úvahu reálnou charakteristiku podkladových procesů, které jsou klíčové pro výběr typu pravděpodobnostního rozdělení. Oběcně platí, že úvěrové a operační rizika vykazují až extrémně těžký konec pravděpodobnostního rozdělení na straně jedné a omezení nulou, či jí blízkou hodnotou na straně druhé, viz [9]. Oproti tomu tržní rizika vykazují mnohem vyšší symetričnost výnosů s poměrně znatelnou pravděpodobností extrémních událostí, ať už se jedná o riziko měnové [1,2,7,8], akciové či jejich kombinaci [5,13,14] nebo i rizika opčního [11,18] - v uvedených studiích bylo prokázáno, že Lévyho modely na bázi subordinátoru, potenciálně spojené pomocí běžné eliptické Studentovy kopula funkce umožňují ex post jednoznačně lepší odhad rizika na bázi VaR/cVaR než standardní model na bázi sdruženého Gaussova (normálního) pravděpodobnostního rozdělení. V [5] bylo zároveň prokázáno, že charakter podkladového procesu představuje významný faktor při určování nákladů kapitálu finanční instituce, ať už banky nebo pojišťovny. Ve druhém případě to spolu se zjištěním, že náhodná složka modelů životního rizika vykazuje znatelnou šikmost a špičatost dává zajímavý podnět pro sestavení komplexního modelu řízení rizika pojišťovny na bázi Lévyho modelů. V souvislosti s tím je nutné zmínit i potřebu studia alternativních postupů pro aproximaci pravděpodobnostního rozdělení, viz např. [3,4] nebo [10,12]. Smyslem tohoto projektu a předmětem jeho výzkumu je navázat na výše uvedené výsledky pomocí hlubší analýzy různých způsobů formulace volatility, ať už jako intervalu, náhodné veličiny či fuzzy-náhodné veličiny a provést jejich aplikaci při modelování finančního rizika, včetně souvisejících úloh oceňování a zajištění. [1] Cielepová, G., Tichý, T. Interesting findings about risk estimation and backtesting at European FX rate market. In: R. Matoušek, D. Stavárek. Financial Integration in the EuropeanUnion. Routledge London. [2] Cielepová, G., Tichý, T. The implication of the security type for efficient risk measuring. Actual Problems of Economics 3, č. 12, 2011. ISSN 1993-6788. [3] Holčapek, M., Tichý, T. A smoothing filter based on fuzzy transform. Fuzzy sets and systems 180 (1), pp. 69–97, 2011. ISSN 0165-0114. [4] Holčapek, M., Tichý, T. (2010). A probability density function estimation using f-transform. Kybernetika 46 (3), pp. 447-458, 2010. [65] Holčapek, M., Tichý, T. Option Pricing with fuzzy parameters via Monte Carlo simulation. In M. Zhou (Ed.): ISAEBD 2011, Part IV, CCIS 211, pp. 25–33, 2011 Springer Verlag. [5] Kresta, A., Petrová, I., Tichý, T. Innovations at financial markets: How tomodel higher moments of portfolio distribution. Actual Problems of Economics 2, č. 12, s. 59-71, 2010. ISSN 1993-6788. [6] Ortobelli, S.L., Tichý, T. On the impact of concordance measures in the portfolio theory. Computational Statistics and Data Analysis. Submitted. [7] Tichý, T. (2010). Posouzení odhadu měnového rizika portfolia pomocí Lévyho modelů. Politická ekonomie 58 (4), pp. 504-521, 2010. [8] Cielepová, G., Tichý, T. Backtesting results and the type of the security. Liberecké ekonomické fórum, Liberec, CZ, September 19-20, 2011. ISBN 9788073725235 (379–388 pp.) [9] Havlický, J., Tichý, T.(2010). Operational risk – bottom up approach by copulas. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, pp. 220–225. české Budějovice: JCU. [10] Holčapek, M., Tichý, T. (2011). A comparison of smoothing filter based on fuzzy transform and Nadaraya-Watson estimators. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, Praha: VŠE Praha, 2011. ISBN 978-80-7431-058-4. (pp. 260-265). [11] Holčapek, M., Tichý, T. Option pricing with imprecisely stated volatility: A fuzzy-random approach. In: Stavárek, D., Vodová, P. (ed.) Lessons Learned from the Financial Crisis. Proceedings of 13th International Conference on Finance and Banking. Karvina: Silesian University, 2011. [12] Holčapek, M., Tichý, T. (2010). Smoothing of financial data by a filter based on fuzzy transform. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, pp. 244–249. české Budějovice: JCU. [13] Kresta, A. (2010). A Modeling Quality Comparison of Estimated Lévy Models. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, pp. 371–376. české Budějovice: JCU. [14] Kresta, A., Tichý, T. (2011). International equity risk modeling by NIG model. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, Praha: VŠE Praha, 2011. ISBN 978-80-7431-059-1. (pp. 401-406). [15] Ortobelli, S.L., Tichý, T. Semidefinite positive association measures and portfolio theory. In Proceedings of 47th EWGFM meeting. Ostrava: VŠB-TU Ostrava. ISBN 978-80-248-2351-5. (pp. 119-130) [16] Tichý, T. (2010). Market risk backtesting via Lévy models and parameter estimation. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, pp. 634–639. české Budějovice: JCU. [17] Tichý, T., Holčapek, M. (2011). Simulation methodology for financial assets with imprecise data. In Proceedings of Mathematical Methods in Economics, Praha: VŠE Praha, 2011. ISBN 978-80-7431-059-1. (pp. 709-714).

2012

2012

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

SGS

Specifický výzkum VŠB-TUO

Tichý Tomáš prof. Ing., Ph.D.